משוואות דיפרנציאליות רגילות 1
מרצה: פרופ' שושנה קמיןמתרגל: ד"ר לאוניד קגן
אתר הקורס: בוירטואל
קצת על הקורס
בקורס נלמד לפתור משוואות בהן מעורבות פונקציות. אנו נלמד רק על משוואות דיפרציאליות רגילות, כלומר הפונצקיות במשוואה הן עבור משתנה יחיד (בניגוד למשוואות דיפרציאליות חלקיות, בהן מעורבות פונקציות עם כמה משתנים).
לעיתים נביא פתרון למשוואה (כלומר מציאת הפונקציה במשוואה) ולעיתים נדון על קיום פתרונות ויחידות פתרון.על מנת לפתור חלק מהתרגילים מומלץ להכיר:
נגזרות מפורסמות
אינטגרלים מפורסמים
זהויות טריגונומטריות
תרגילים
התרגילים מפורסמים אחת לשבוע ויש להגיש 80% מהתרגילים. הבדיקה היא רנדומלית על ידי המתרגל. התרגילים לא יכנסו לציון.
ניתן להגיש בתרגול, או באותו היום (חמישי) לתא המתרגל (69) בשעה 20:00. במידה ומגישים בתא יש לרשום איזה קבוצת תרגול (זו שמתחילה ב- 14:00 זו הקבוצה הראשונה, האחרת היא השניה).
אז מה היה לנו?
שבוע ראשוןשיעור 1 - 2.3.09
תיקונים:
תרגול 1 - 5.3.09
תיקונים:
- הצורה הכללית של משוואה דיפרציאלית רגילה
- השאלות עליהם נענה בקורס בקשר למשוואות מסוג זה (דיפרציאליות רגילות)
- דוגמאות למשוואות פשוטות לפתרונן
- בעיית קושי (Cauchy) - בעייה עם תנאי התחלה
- משפט הפונקציה הסתומה מחדו"א ואיך זה קשור אלינו
- משוואה מסדר ראשון, והצגת המשוואה לזוית המשיק
- שדה כיוונים
- פתרון למשוואות מסדר ראשון
- פתרון למשוואה מהצורה y' = f(y)
- הפרדת משתנים, פתרון למשוואה מהצורה y' = f(x)g(y)
- פתרון למשוואה מהצורה
תיקונים:
- בעמוד 9 הצלחנו למצוא פתרון מפורש, אך לא תמיד יש. הכוונה: לא תמיד יש פתרון מפורש בצורה של פונקציות אלמנטריות, אך כן יש פתרון (יתכן לא מפורש) בהנתן ש- (G'(y שונה מ-0 עבור y מסויים.
- בעמוד 9 פסקה אחרונה, בכל פעם שכתוב Df/Dx הכוונה היא כמובן ל- Df/Dy (בהערה זו, D מסמל דיפנציאל חלקי)
תרגול 1 - 5.3.09
- 2 דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים
- הכלל של לאוניד האם להציג פונקציה בצורה מפורשת!
תיקונים:
- בעמוד 3 בסוף ההערה באמצע העמוד (עם סוגריים מרובעים) - מחפשים תחום שבו לא קורה y=0 ולא תחום שבו y>0
שבוע שנישיעור 3 - 9.3.09
תיקונים:
- משפט הפונקציה הסתומה
- משפט הפוקנציה ההפוכה (ורעיון להוכחה)
- הדיפרניאל (df) - הגדרה (עבור פונקציה של משתנה אחד)
- שיטת הפרדת משתנים (שוב)
- פתרון למשוואה הומוגנית. מהצורה y' = f(y/x)
- פתרון למשוואה מהצורה y' = f(ax+by+c)
- משוואת לינאריות מסדר ראשון (עם משתנים לא קבועים)
- תכונות של הפתרונות למשוואה ליאנרית מסדר ראשון
- פתרון המשוואה. מהצורה y' +a(x)y = b(x)
- הרחבת ההגדרה של דיפרנציאל לפונקציה של 2 משתנים
תיקונים:
- עמוד 2, איזה משוואות אנחנו יודעים לפתור עד כה, נקודה שלישית: g היא כמובן פונקציה של y ולא של x.
- פתרון משוואות לינארית ממעלה 1 (+ שיטה נוספת לפתרון בסוף התרגול)
- משוואת ברנולי
שבוע שלישישיעור 5 - 16.3.09
- תזכורת: דיפנציאל של פונקציה של 2 משתנים
- משוואות מדוייקות:
- הגדרה
- משפט על קיום פתרון (והוכחתו)
- תחילת הסבר לפתרון משוואה מדוייקת
- משוואות מדוייקות
- דרך פתרון (וכמה מילים עליו)
- דוגמא
- גורם אינטגרציה
- הגדרה
- דרכי מציאה
- דוגמא
- תיאוריה של בעיה קושי למשוואה מסדר 1
- דרך פתרון נומרית
- משפט פיאנו
- משפט אסקולי-ארזלה
- דוגמא לחוסר היחידות של פתרון לבעית קושי
- משוואת מדוייקות
- גורם אינטגרציה (ודרך מהירה לבדוק האם יש כזה שהוא פונ' של משתנה אחד)
שבוע רביעישיעור 7 - 23.3.09
- משפט קיום ויחידות לבעית קושי (בתנאים מסויימים)
- טענה: בעית קושי שקולה לפתרון משוואה אינטגרלית
- תיקון קטן של טענת השקילות מהשיעור הקודם
- איטרציות פיקרד, והוכחת התכנסותם לפתרון למשוואה האינטגרלית
- דוגמא לאיטרציות פיקרד
- הוכחת יחידות הפתרון לבעית קושי (במלבן)
- שיטת אוילר
- שיטת פיקרד
- מציאת מספר ליפשיץ
שבוע חמישישיעור 9 - 30.3.09
- סיום הוכחת יחידת לפתרון בעית קושי (במלבן)
- המשכה של פתרון
- משפט: למשוואה לינארית עם מקדמים רציפים קיים פתרון בכל התחום והוא יחיד
- מציאת פתרון כללי לבעית קושי ע"י התייחסות לתנאי התחלה כשרירותי
- תחילת הוכחה: למשוואה לינארית עם מקדמים רציפים קיים פתרון בכל התחום והוא יחיד
- יציבות של פתרון
- הוכחת יציבות לפי תנאי התחלה
- הוכחת יציבות לפי f
- מציאת פתרון מקורב על ידי שימוש באיטרציות פיקרד
שבוע שישישיעור 11 - 20.4.09
- חזרה על דברים שלמדנו
- חזרה לבעית קושי שהיו לה מספר פתרונות
- משפט: קיום ויחידות פתרון לבעית קושי בפס
- תחילת ההוכחה
- משפט: קיום ויחידות פתרון לבעית קושי בפס
- סיום ההוכחה
- מסקנה מהמשפט: למשוואה לינארית עם מקדמים רציפים קיים פתרון בכל התחום והוא יחיד
- משוואות מסדר גבוה יותר
- משוואה לינארית מסדר שני
- מקרים פרטיים של פתרון
- משוואה לינארית מסדר שני
- פתרון משוואה מסדר 2 ע"י הורדת סדר
- פתרון משוואה מסדר שני ש- x לא מופיע בה
- פתרון משוואה מסדר שני ש- y לא מופיע בה
שבוע שביעישיעור 13 - 27.4.09
- צורה כללית של משוואה מסדר n
- הקשר בין משוואה מסדר n למערכת של n משוואות מסדר ראשון
- צורה כללית של מערכת של n משוואות מסדר ראשון
- צורה וקטורית של מערכת משוואות
- דוגמא להעברה לצורה וקטורית
- נורמה (הגדרה של נורמה חדשה)
- תנאי ליפשיץ עבור עבור פונקציה וקטורית
- בעית קושי למערכת
- איטרציות פיקרד עבור מערכת
- צורה וקטורית של משוואה מסדר שני
- שיטת פיקרד למשוואה וקטורית
- נוסחה למציאת פתרון שני עבור משוואה מסדר שני בהנתן הראשון
שבוע שמינישיעור 14 - 4.5.09
- חזרה על הקשר בין משוואה מסדר n, מערכת של n משוואות ווקטורים
- תנאי ליפשיץ עבור משוואה וקטורית
- משפט קיום ויחידות לבעית קושי מסדר שני (ללא הוכחה)
- מערכת לינארית מסדר ראשון - הגדרה והצגה וקטורית
- הוכחה קיום תנאי ליפשיץ בהנתן aij רציפות
- העברת משוואה לינארית מסדר שני לשתי משוואה לינאריות מסדר ראשון
- טיפול בתנאי התחלה
- משפט קיום ויחידות לבעית קושי מסדר שני (ללא הוכחה)
- משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר שני הומוגניות
- צירוף לינארי של פתרונות הוא פתרון
- הגדרת צמד פתרונות בסיסי / יסודי
- מציאת תנאי מספיק והכרחי להיות שני פתרונות צמד בסיסי / יסודי (ורונסקיאן לא מתאפס)
- הורונסקיאן הוא או אפס זהותית או לא מתאפס
- לכל משוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר שני הומוגניות יש צמד פתרונות בסיסים
- תלות לינארית
- תלות לינארית
- ורונסקיאן
- בדיקת תלות / אי תלות לינארית
- יצירת משוואה דיפרנציאלית מפתרונות
- מספרים מרוכבים (חזרה ברמה תיכונית)
שבוע תשיעישיעור 16 - 11.5.09
- תלות לינארית
- ורונסקיאן לא מתאפס => אי תלות לינארית
- כיוון הפוך לא נכון באופן כללי
- כיוון הפוך כן נכון עבור פתרונות למד"ר Ly=0
- התחלה: מציאת הפתרון השני באמצעות הורדת סדר
- המשך: מציאת הפתרון השני באמצעות הורדת סדר
- משוואות לינארית הומוגניות מסדר שני עם מקדמים קבועים
- פתרון על פי חלוקה ל- 3 מקרים
- דוגמאות
- התחלה: ניתוח המקרה השלישי
- מד"ר לינאריות הומוגניות מסדר שני עם מקדמים קבועים.
- פתרון שני תרגילים
- הערה לגבי פתרון כללי של משוואות לינאריות הומוגניות מסדר כל שהוא
- מציאת שורשים למספר מרוכב
שבוע עשירישיעור 18 - 18.5.09
- סיכום פתרון משוואות לינאריות הומוגניות מסדר שני עם מקדמים קבועים
- המשך: ניתוח המקרה השלישי
- שרטוט המקרה השלישי
- כמה מילים על בעיות שפה
- תכונות של משוואה לינארית הומוגנית מסדר שני
- אין קיום מקסימום חיובי (ומינימום שלילי).
- דוגמאות לאי קיום מקסימום חיובי
- משוואות מסדר שני עם מקדמים קבועים לא הומוגניות
- דרך פתרון באמצעות פתרון המשוואה ההומוגנית
- מציאת פתרון פרטי על ידי ניחוש פונקציה מהצורה של f
- דוגמא (פיזיקלית) לשימוש במשוואות מסוג זה
- שיטה כללית למציאת פתרון למשוואות מסוג זה
שבוע אחד עשרשיעור 20 - 25.5.09
- משוואות מסדר שני עם מקדמים קבועים לא הומוגניות
- חזרה על השיטה הכללית למציאת פתרון למשוואות מסוג זה
- דוגמא לשימוש בשיטה הכללית
- בעית שפה
- בחינת קיום ויחידות פתרונות לבעיה
- בעיות Sturm-Liouville - הצגת הבעיה
- בעיית Sturm-Liouville
- הצגת הבעיה הכללית
- 2 דוגמאות לפתרון הבעיה
- שני הבדלים בין בעיית קושי לבעיית שפה
- בשפה לא תמיד יש יחידות פתרון
- בשפה לא תמיד יש קיום פתרון
- משוואות אויילר
- משוואות לינארית מסדר n
- העברה למערכת של n משוואות מסדר ראשון
- משפט קיום ויחידות לבעית קושי (ללא הוכחה)
- משוואות לינארית הומוגניות מסדר n
- הוכחת קיום בסיס
שבוע שנים עשרשיעור 22 - 1.6.09
- משוואות לינאריות מסדר n
- הוכחת קיום בסיס
- ורונסיקאן
- משפט - הפתרונות בת"ל אם"ם ורונסקיאן שונה מ- 0
- פתרון משוואות לינאריות מסדר n
- משוואות מסדר nעם מקדמים קבועים
- הסבר מדוע נוספים פתרונות שמוכפלים ב- x
- טיפול בשורשים מרוכבים (שמייצרים איברי בסיס מרוכבים)
- פתרון משוואה לא הומוגנית עם מקדמים קבועים
- פתרון משוואה לא הומוגנית כך שההומוגנית היא משוואות אויילר
שבוע שלוש עשרשיעור 24 - 8.6.09
- משוואות לינארית עם מקדמים קבועים
- סיום טיפול בשורשים מרוכבים (שמייצרים איברי בסיס מרוכבים)
- מערכת משוואות דיפרנציאלית
- מערכות לינאריות הומוגניות
- טענה: מרחב הפתרונות הוא מרחב לינארי מבסיס n
- מערכות לינאריות - מרחב הפתרונות הוא מסדר n
- פתרון מערכות משוואות לינאריות עם מקדמים קבועים
- הצגת הפתרון הכללי בצורה ממשית במקרה הצורך
- תיאוריה של מערכות
- הוכחת קיום ויחידות - מתווה כללי
- פתרון מערכת משוואות לינאריות כאשר יש שורש כפול
- פתרון מערכת משוואות לינאריות על ידי ניחוש
שבוע ארבע עשרשיעור 26 - 15.6.09
- הגדרת אקפוננט של מטריצה
- דוגמא פשוטה
- שימוש של זה לפתרון מערכת משוואות לינאריות עם מקדמים קבועים
- אקפוננט של מטריצה
- דוגמא
- חישוב עבור מטריצות בצורת ג'ורדן
- תרגיל על משוואת אויילר
שבוע שישה עשרתרגול 13 - 2.7.09
- תרגילי חזרה לקראת המבחן
- משוואות מדוייקות וגורם אינטגרציה
- שיטת הפרדת משתנים
- פונקציות בת"ל
- מספרים מרוכבים
- פונקציות עצמיות וערכים עצמיים לבעית S-L
- קירובי פיקרד למערכת
- שדה כיוונים
איזה משוואות אנחנו יודעים לפתור?
על מנת להתעמק בדרכי הפתרון, מומלץ לקרוא את השיעור / תרגול המתאים.
משוואות מסדר ראשון
| צורת המשוואה | שם המשוואה | דרך פתרון | דוגמא |
|---|---|---|---|
| y' = f(x) | משוואה משוואתית | אינטגרציה. אם F היא הקדומה של f אז: y=F(x)+c | y=sin(x)2+x7 |
| y' = g(y) | משוואה משוואתית 2 | מעבירים לצורה: dy/g(y)=dx ואז מבצעים אינטגרציה | y=y'+3 |
| y' = f(x)g(y) | הפרדת משתנים | מציגים בצורה dy/g(y)=f(x)dx ואז מבצעים אינטגרציה | y' = sin(x)cos(y)2 |
| y' = f(y/x) | משוואה הומוגנית | נבצע החלפת משתנה: u = y/x ואז הנגזרת של y לפי שתי ההצגות: y' = f(u) y' = (ux)' = u'x + u ואז מקבלים du/dx = (1/x)*(f(u)-u) וזו משוואה של הפרדת משתנים | y' = (y+x)/y |
| y' = f(a*x + b*y + c) | משוואה משוואתית 3 | מסמנים z = a*x + b*y + c ואז מקבלים z' = a + b*y' = a + b*f(z) כלומר בסה"כ z' = a + b*f(z) וזו משוואה מצורה "משוואה משוואתית 2" | y' = 1/(5x + y - 51) + 41 |
| y' + p(x)*y = q(x) | משוואה לינארית מסדר 1 | מכפילים את המשוואה ב: e^int(p(x)dx) ואז מתקבלת המשוואה השקולה (e^int(p(x)dx)*y)' = q(x)*e^int(p(x)dx) ומכאן עושים אינטגרציה ומחלקים | y' + 2x*y = x |
| y' + p(x)*y = q(x)*y^a עבור: a != 0,1 | משוואת ברנולי | מסמנים z = y^(1-a) ואז מקבלים z' = (1-a)*y^(-a)*y' מכפילים את המשוואה המקורית ב: (1-a)*y^(-a) ומקבלים "משוואה לינארית מסדר 1" | y' = (2/x)*y + x/y2 |
| M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 כאשר מתקיים: My = Nx | משוואה מדוייקת | המטרה היא לחפש u כך ש: M = Du/Dx, N = Du/Dy (ה- D גדולה כדי לסמן נגזרת חלקית)מבצעים אינטגרציה לפי x: u = int(Mdx) + g(y) ומוצאים את g על ידי שתי המשוואות: u'(y) = int(Mdx)'(y) + g'(y) u'(y) = N(x,y) | (2*x*y3-x2)dx + (3*x2*y2-1)dy = 0 |
גורם אינטגרציה
לעיתים רבות ניתן להפוך משוואה בצורה דיפרנציאלית למשוואה מדוייקת באמצעות הכפלה בגורם אינטגרציה.
| גורם האינטגרציה | תיאורו | תנאי לקיומו |
|---|---|---|
| mu(x,y)=mu(x) | פונקציה של x | (My-Nx)/N = f(x) |
| mu(x,y)=mu(y) | פונקציה של y | -(My-Nx)/M = f(y) |
משוואות מסדר שני
| צורת המשוואה | שם המשוואה | דרך פתרון | דוגמא |
|---|---|---|---|
| y'' = f(x) | משוואה משוואתית מסדר שני | אינטגרציה פעמיים. אם F היא הקדומה של f ו- G היא הפונקציה הקדומה של F אז: y=G(x) + c1*F(x) + c2 | y''=sin(x)2+x7 |
| y'' = f(x,y') | משוואה מסדר שני ללא y | נסמן: u(x)=y' ואז u' = f(x,u) כלומר מקבלים משוואה מסדר ראשון.כשנמצא לה פתרון, כלומר פתרון ל-u, נבצע אינטרגיה למציאת y. | x2*y''+2*x*y'-1=0 |
| y'' = f(y,y') | משוואה מסדר שני ללא x | נסמן: p(y)=y' ואז y'' = p*p' ואז המשוואה היא p*p' = f(y, p) וזו משוואה מסדר ראשוןכנשמצא לה פתרון, כלומר פתרון ל-p, יהיה עלינו לפתור את המשוואה: y' = p(y) | 2*y*y'' = (y')2 + 1 |
| a*y''+b*y'+c*y = 0 | משוואה לינארית הומוגנית מסדר שני | ראו שיעור 17 | 2*y''+y'-7*y = 0 |
| a*x2*y''+b*x*y'+c*y = 0 | משוואת אויילר | מנחשים פתרון מהצורה y=x^n ומציבים. מקבלים משוואה ריבועית עבור n. | x2*y''+7*x*y'+5*y = 0 |
