אנליזה הרמונית - אביב 14
מרצה: פרופ' יפים גלוסקין.
אתר הקורס: אין.
תרגילים
המרצה שולח מדי פעם תרגילים למי שרשום לקורס, אבל אין חובה לעשות אותם ואין בדיקה.
סיכומי הרצאות ותרגולים
שבוע ראשוןשיעור 1
- ספרות מומלצת
- אנליזה הרמונית באופן כללי
- פולינומים טריגונומטריים
- טור פורייה
- התכנסות של טור פורייה בנקודות גזירות
- התכנסות ב-L1 וב-L2 תחת תנאים מספיקים
- הלמה של רימן-לבג
- טור פורייה של אינטגרל ונגזרת
- הקשר בין חלקות לבין דעיכת מקדמי פורייה
- קונבולוציה ותכונות בסיסיות
- יחידה אפרוקסימטיבית
שבוע שנישיעור 3
- אי שוויון מינקובסקי
- התכנסות של הזזות של פונקציה
- הוכחת התכנסות של קונבולוציה עם יחידה אפרוקסימטיבית ב-Lp וב-C
- אין שיעור נוסף השבוע בגלל יום הבחירות.
שבוע שלישישיעור 4
- מסקנה מההתכנסות: צפיפות פולינומים טריגונומטריים
- משפט היחידות
- שוויון פרסבל
- משוואת החום (על חוט מעגלי)
- המשך פתרון משוואת החום
- התכנסות בתת מרחב צפוף גוררת התכנסות
- פונקציות הרמוניות ובעיית דיריכלה
שבוע רביעישיעור 6
- המשך הפתרון לבעיית דיריכלה
- הוכחת קיום ויחידות
- גרעין פואסון והתכנסות נקודתית בנקודות רציפות
- משפט פאטו והתכנסות כמעט בכל מקום עבור גרעין פואסון
- יחידה אפרוקסימטיבית רגולרית
- חג פסח שמח!
שבוע חמישישיעור 7
- המשך ההוכחה של משפט פאטו
- (התחלת) דוגמה נגדית לקיום של התכנסות נקודתית של טור פורייה
- דוגמה מפורשת של התבדרות טור פורייה של פונקצייה רציפה (חסר בסיכום)
- בנייה כללית של דוגמאות דומות
- סדרות עם התפלגות אחידה (מודולו 1)
- קריטריון וייל
שבוע שישישיעור 9
- עוד על קריטריון וייל
- סדרות מוגדרות חיובית
- משפט הרגלוץ
- פולינומים טריגונומטריים אי שליליים
- המשך הוכחת משפט הרגלוץ
- קצת על משפט ריס-קקוטני
- מסקנה: משפט ארגודי של פון נוימן
- מבוא להתמרת פורייה
שבוע שביעישיעור 11
- רציפות במ"ש (ותכונות בסיסיות אחרות) של התמרת פורייה
- הלמה של רימן-לבג עבור התמרת פורייה
- שוב, תנאי להתכנסות ב-L1
- משפט יחידות ההתמרה
- דוגמאות לחישוב התמרת פורייה
- התמרה של נגזרת ומשפט הפוך
- יחידה אפרוקסימטיבית להתמרת פורייה
- רציפות הזזות ב-Lp
שבוע שמינישיעור 13
- קונבולוציות מוגדרות היטב
- התכנסות של קונבולוגיות עם יחידה אפרוקסימטיבית
- קונבולוציה של פונקציה אינטגרבילית מקומית עם פונקציה נתמכת קומפקטית
- צפיפות פונקציות חלקות במרחבי Lp
- צפיפות פונקציות שוורץ במרחבי Lp
- גרעין סכימה של טורי פורייה
- דוגמאות: גרעין פייר, גרעין פוסאון, גאוסיין
- הרחבת התמרת פורייה ל-L2
שבוע תשיעישיעור 15
- התמרת פורייה כאיזומטריה ב-L2
- נוסחה מפורשת להתמרת פורייה של פונקציה נתמכת קומפקטית
- משפטי פלנשרל על נוסחאות להתמרת פורייה ב-L2
- אופרטור שמתחלף עם התמרת פורייה
- חישוב הספקטרום של התמרת פורייה כאופרטור ב-L2
- בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים לתת מרחב צפוף ב-L2
- פולינומי הרמיט הם מערכת שלמה
- פונקציות הרמוניות בחצי המישור
שבוע עשירישיעור 17
- עוד על פונקציות הרמוניות בחצי מישור
- נוסחה לגרעין פואסון עבור התמרת פורייה
- הוכחת קיום ויחידות
- משפט וינר
- המשך משפט וינר
- נוסחת הדגימה של פואסון
- דוגמאות
- משוואת החום בישר
- פונקציית יעקובי וסכומי גאוס
שבוע שנים עשרשיעור 20
- התמרת פורייה של התפלגות של משתנה מקרי
- נגזרת של התמרת פורייה בהינתן מומנטים חסומים
- משפט הגבול המרכזי והתפלגות נורמלית
- המשך ההוכחה של משפט הגבול המרכזי
- טורי פורייה מרוכבים
- משפט פלה-וינר הראשון
שבוע שלושה עשרשיעור 22
- המשך הוכחת משפט פלה-וינר הראשון
- משפט פלה-וינר השני
- המשך הוכחת משפט פלה-וינר השני
- נקודת מבט כללית - טרנספורם פורייה מעל חבורה טופולוגית קומוטטיבית
- קרקטרים ואורתוגונליות
שבוע ארבעה עשרשיעור 24
- מידת האר על חבורה טופולוגית קומוטטיבית קומפקטית מקומית
- איפיון כל הקרקטרים ב-R,T
- טרנספורם פורייה מעל חבורה סופית
- סימן לז'נדר
- תכונות של שאריות ריבועיות (לא בסיכום)
- חישוב התמרת פורייה של סימן לז'נדר
- מסקנה: הדדיות ריבועית
- טופולוגיה על החבורה הדואלית
