מד"ר 1 - אביב 14
מרצה: פרופ' מיכאל ביאלי
מתרגל: צחי
שיעורי בית - במודל
תרגילים
חייבים להגיש לפחות 9 תרגילים במהלך הסמסטר, כאשר יש תרגיל כול שבוע
סיכומי הרצאות ותרגולים
שבוע 1
- בירוקרטיה
- מה זה מד"ר + דוגמאות מהפיסיקה הקלאסית
- שיטות קירוב לפתרון (ללא הוכחות)
- בתרגול – פתרון מד"ר ניתנות להפרדה
שבוע 1
שבוע 2
- דוגמאות לשימוש בשיטות התכנסות
- משפט קיום ויחידות – הוכחת הקיום
- בתרגול - גורם אינטגרציה, החלפות משתנים.
שבוע 2
שבוע 3
- משפט קיום ויחידות – הוכחת היחידות
- מערכות משוואות
- משוואות מדויקות בשני משתנים
- בתרגול – משוואות הומוגניות ושיטות קירוב
שבוע 3
שבוע 4
- המשך מערכות מתוקנות – קווי גובה של חוק שימור
- דוגמה חשובה - משוואות ניוטון
- אי שוויון אינטגרלי של Gronwall
- בתרגול – משוואות מדויקות (ותיקון משוואות)
שבוע 4
שבוע 5
- משפט תלות רציפה של הפתרון בתנאי ההתחלה
- משפטי השוואת פתרונות
- משוואות לינאריות מסדר גבוה
- אוסף הפתרונות למשוואה הומוגנית הוא מרחב וקטורי
- בתרגול – משוואות ניוטון, קווי גובה של חוק שימור
שבוע 5
שבוע 6
- תכונות של מרחב הפתרונו למשוואה הומוגנית
- מטריצת וורונסקי
- הורדת סדר של משוואה הומוגנית
- שיטת וריאצית המקדמים לפתרון משוואה לא הומוגנית
- בתרגול – משפטי השוואה, תלות ואי תלות ליניארית
שבוע 6
שבוע 7
- הפולינום אופייני של משוואה הומוגנית
- אופרטורים דיפרנציאליים פשוטים (מקדמים קבועים)
- מציאת בסיס למרחב הפתרונות של משוואה הומוגנית
- בתרגול – שיטת וריאציית המקדמים והורדת סדר של משוואה הומוגנית
שבוע 7איך פותרים את תרגיל הבית?
בקישור הזה בעמוד חמש, יש הסבר לשיטה הכללית שבעזרה אפשר לפתור את תרגיל הבית
שבוע 8
- חופשת פסח.
שבוע 9
- הוכחת המשפט על פתרון מד"ר לינארית מסדר גבוה לא הומוגנית
- מרחבי קוואזי פולינומים
- משוואות אוילר: משוואות עם מקדמים לא קבועים, אך ניתן לבצע החלפה פשוטה ולקבע אותם
- סדרות נסיגה לינאריות והדמיון למד"ר לינארית
- מערכת משוואות לינאריות פשוטות כהכללה של מד"ר לינארית מסדר גבוה
- בתרגול : פתרון מד"ר לינאריות מסדר גבוה הומוגניות ולא הומוגניות.
שבוע 10
- פתרונות של מערכת משוואות לינאריות מהווים מרחב וקטורי ממימד כמות המשוואות
- מטריצה פונדמנטלית ומשפט אבל ליוביל למערכת משוואות
- שיטת וריאצית המקדמים למערכת משוואות לא הומוגנית
- פתרון מטריציוני למערכת משוואות הומוגנית
- הגדרת אקספוננט למטריצה והוכחת התכנסות הטור
- בתרגול: פתרון משוואות אוילר וסדרות נסיגה
שבוע 10
שבוע 11
- אקספוננט של מטריצה כפתרון למערכת משוואות לינאריות
- מתכון לביצוע אקספוננט של מטריצה על ידי ג'ירדון ודמיון
- אקספוננט של מטריצה נילפוטנטית ומטריצה סקאלרית
- טור טיילור מבוטא כאקספוננט של אופרטורים לינאריים
- פונקציה אנליטית כולשהי פועלת על מטריצה
- בתרגול: אקספוננט של מטריצה - ואיך לתקן את המצב אם ה עע מרוכבים
שבוע 11
שבוע 12
- פתרון מערכת משוואות לינארית 2 על 2
- מישורי פאזה עבור מערכות במישור
- גזירה של מד"ר לפי פרמטר ולפי תנאי התחלה
- בתרגול: פתרון מערכת משוואות לינארית הומגנית ולא הומוגנית
שבוע 12
שבוע 13
- הגדרה של פתרון יציב
- הגדרה של פתרון יציב אסימפטותית
- יציבות של מערכת לינארית 2 על 2
- בתרגול: גזירה של מדר לפי פרמטר ולפי תנאי התחלה
שעתיים בוטלו בעקבות יום הסטודנטשבוע 13
שבוע 14
- הוכחת יציבות של מערכת לינארית בתנאים מתאימים
- פונקציות ליאפונוב
- משפט ליאפונוב
- תרגול - מיון נקודות קריטיות במישור כלומר בפתרון של מערכת לינארית 2 על 2
שבוע 14
שבוע 15
- דוגמאות ליציבות של מערכות כלליות
- פונקציות ציטאייב ואי יציבות של מערכת
- בניית פונקציית ליאפונוב עבור מערכות לינאריות
בוטל שיעור אחד בעקבות חג שבועות
שבוע 15
שבוע 16
- בנייה של פונקצייה ליאפונוב למערכת לינארית - גישה של אלגברה לינארית
- פתרון שאלות בנושא יציבות
- תרגול - פתרון של עוד שאלות בנושא יציבות
שבוע 16
