פונקציות ממשיות - חורף 13
מרצה: פרופ' בועז קלרטג
מתרגל: אורי גרופל
אתר הקורס: http://www.math.tau.ac.il/~klartagb/real_2013.html
תרגילים
נמצאים באתר המתרגל: http://www.math.tau.ac.il/~urigrupe/real.html
אין חובת הגשה, אבל כל תרגיל עם ציון עובר מזכה בבונוס נקודה בציון הסופי (עד 10 נקודות)
סיכומי הרצאות ותרגולים
שבוע 1
בהרצאה
- בירוקרטיה
- מרחבים מטריים
- טופולוגיה ב Rn - (קבוצות פתוחות סגורות קומפקטיות)
- אפיון כל הקבוצות הפתוחות על הישר הממשי
בתרגול
- קבוצות ממידה אפס
- קבוצת קנטור - קבוצה סגורה חסומה מעוצה א' ומידה אפס (אפילו לפי מידת ז'ורדן/רימאן)
שבוע 2
בהרצאה
- תחילת פרק 1: מידת לבג
- ההגדרה למלבנים וקבוצות אלמנטריות
- תת סיגמא אדיטיביות
- הגדרת המידה החיצונית, הגדרת קבוצה מדידה לבג
בתרגול
- מידה חיצונית
- מידה חיצונית של תת-גרף של פונקציה אינטגרבילית רימאן שווה לאינטגרל
שבוע 3
בהרצאה
- אדיטיביות וסיגמא אדיטיביות של מידת לבג עבור קבוצות מדידות
- הגדרה: סיגמא אלגברה
- הקבוצות המדידות הן סיגמא אלגברה
בתרגול
- בכל קבוצה ממידה חיובית יש קטע שבו הצפיפות שלה גדולה כרצונינו
- רציפות מידת לבג בהתכנסות מונוטונית והתכנסות נקודתית
שבוע 4
בהרצאה
- בניית מידת לבג ב Rd עבור d>2
- בניית קבוצה לא מדידה
- מרחב מידה כללי ומשפט carathodory
- מידות lebesgue stieltjes - אפיון כל מידות הבורל על הישר
בתרגול
- אלגברה וסיגמא אלגברה
- סיגמא אלגברה אינסופית לא יכולה להיות בת מניה
שבוע 5
בהרצאה
- פונקצית קנטור
- תחילת פרק 2: פונקציות מדידות
- תכונות סגירות של משפחת הפונקציות המדידות (סגירות לפעולות חשבון, לגבולות וכו')
- 'כמעט בכל מקום' (כב"מ), סגירות של הפונקציות המדידות תחת שוויון/גבול/נגזרת כב"מ
- התכנסות במידה, התכנסות כב"מ גוררת התכנסות במידה.
- הלמה של בורל קנטלי
- אם סדרת פונקציות מתכנסת במידה לפונקצית גבול, יש תת סדרה שמתכנסת כב"מ.
בתרגול
- כל קבוצה ממידה חיובית מכילה קבוצה לא מדידה
- מידות lebesgue stieltjes.
שבוע 6
בהרצאה
- משפט Egorov - התכנסות כב"מ היא 'כמעט' התכנסות במידה שווה
- תחילת פרק 3: אינטגרל לבג
- פונקציות פשוטות, הגדרת האינטגרל על פונקציות פשוטות
- תכונות של האינטגרל על פונקציות פשוטות (ליניאריות מונוטוניות וכו')
- אינטגרל לבג של פונקציה מדידה כלשהיא
בתרגול
- אינטגרל לבג - הגדרה ותכונות
שבוע 7
בהרצאה
- סיגמא אדיטיביות של אינטגרל לבג
- מידות רציפות בהחלט
- א"ש מרקוב (צ'בישב)
- משפט ההתכנסות החסומה
- פונקציה אינטגרבילית רימאן (אינט' אמיתי) היא אינטגרבילית לבג והאיטגרלים שווים.
- רציפות בהחלט של האינטגרל
- הלמה של Fatou
בתרגול
- אינטגרל לבג - חישובים
- הלמה של רימאן ולבג (בין היתר, דעיכת מקדמי פורייה)
שבוע 8
התקיימה רק הרצאה אחת קצרה, הסיכום שלה מוכל בסיכום שבוע 7
שבוע 9
בהרצאה
- משפטי התכנסות אינטגרלים
- משפט ההתכנסות המונוטונית (Levi)
- משפט ההתכנסות הנשלטת (משפט המז'ורנטה)
- תחילת פרק 4: מרחב הפונקציות האינטגרביליות (L1(m
- נורמות שמוגדרות על ידי אינטגרלים
- פונקציות פשוטות ואינטגרביליות, פונקציות מדרגות, ופונקציות רציפות עם תומך קומפקטי הן משפחות צפופות ב(L1(m
- משפט Luzin - פונקציה מדידה היא 'כמעט' רציפה
בתרגול
- משפטי התכנסות לצורך גזירה מתחת לסימן האינטגרל
- תרגילים על משפטי התכנסות
שבוע 10
בהרצאה
- (L1(mue הוא מרחב נורמי שלם
- משפט הזזה רציפה ב L1 - (נורמה אינטגרלית של הפרש בין פונקציה להזזה שלה מתכנסת לאפס)
- משפט פוביני (Fubini) אינטגרלים חוזרים שווים לאינטגרל הרב מימדי
שיטת ההוכחה - נגדיר את אוסף כל הפונקציות עליהן המשפט נכון, נראה שפונקציות בסיסיות שייכול אליו ושהוא סגור להרבה דברים וככה נראה שהוא למעשה אוסף כל הפונקציות האינטגרביליות
- משפט טונלי (פוביני לפונקציות חיוביות לא דורש אינטגרביליות)
- שימוש למשפט פוביני - הוכחת תכונה פשוטה של טרנספורם פורייה
בתרגול
- L1 כמרחב מידה
- פוביני
שבוע 11
בהרצאה
- תחילת פרק 5: אינטגרל ונגזרת
- משפט הצפיפות של לבג
- למת כיסוי
- הפונקציה המקסימלית של Hardy Littlewood
- הפונקציה המקסימלית היא 'כמעט ב L1'
- הוכחת משפט הצפיפות של לבג
- משפט הגזירות של לבג ומסקנות נוספות של משפט הצפיפות
- הגדרת השתנות של פונקציה (הכנה לקראת השתנות חסומה)
בתרגול
- אינטגרציה פולארית
- חישוב נפח כדור היחידה ה n מימדי
סיכום ההרצאה והתרגול: שבוע 11
שבוע 12
בהרצאה
- השתנות חסומה BV
- כל פונקציה BV היא גזירה כב"מ - בהסתמך על משפט הכיסוי של ויטלי
- הוכחת משפט הכיסוי של ויטלי (Vitali)
בתרגול
- משפט הצפיפות של לבג
- כל פונקציה אינטגרבילית ניתן לקרב כב"מ עם רציפות
סיכום ההרצאה והתרגול: שבוע 12
שבוע 13
בהרצאה
- פונקציה עולה חוסמת את האינטגרל של הנגזרת שלה
- תחילת פרק 6: פונקציות רציפות בהחלט - AC) Absolutly Continuous)
- פונקציה היא AC אפ ורק אם היא האינטגרל של הנגזרת שלה
- כל פונקציה ב BV ניתן לפרק לסכום של פונקציה AC ופונקציה סינגולרית
בתרגול
- פונקציות רציפות בהחלט
- מידות סינגולריות ומידות רציפות בהחלט
סיכום ההרצאה והתרגול: שבוע 13
שבוע 14
בהרצאה
- מיון מידות בורל על הישר - משפט הפירוק של לבג (למידה AC, מידה בדידה, ומידה סינגולרית ללא אטומים)
- תחילת פרק 7 (לא למבחן) טרנספורם פורייה (Fourier)
- הגדרה דוגמאות ותכונות
- טרנספורם של פונקציה ב L1 הוא חסום, ורציף במ"ש
- נוסחת ההיפוך
- משפט Plancherel
סיכום ההרצאה: שבוע 14
