נושאים מתקדמים בתורת המספרים
מרצה: פרופ' דוד סודרי
אתר הקורס: בוירטואל
2010 סמסטר ב'
קצת על הקורס
זהו קורס המשך לקורס תורת המספרים. הפעם נשתמש בתכונות של פונקציות מרומורפיות כדי לחקור את המספרים הראשוניים; נגדיר את שדות המספרים הפיאדיים; ונוכיח עוד כל מיני משפטים מגניבים שלא תראו באף קורס אחר.
תרגילים
לצערנו אין בודק, אבל תלמידי תואר שני יפתרו את התרגילים, והפתרונות לתרגילים יפורסמו באתר. גם תלמידי תואר ראשון מוזמנים לעזור, ולקבל 10 נקודות בונוס לציון הסופי.
סיכומים
פרק א' - משפט דיריכלה
שיעור 1 ( 22.2.2010 )
- כרקטרים של חבורות חלופיות סופיות
- מרחב הפונקציות מחבורה אבלית למרוכבים
- חזרה על תורת המספרים
- סמל יעקובי ככרקטר מודולו m
שיעור 2 ( 1.3.2010 )
- טורי דיריכלה
- הלמה של אבל
- משפט ווירשטראסס
- הצגה של פונקציית זטא של רימן כמכפלה אינסופית
שיעור 3 ( 8.3.2010 )
- המשכה של פונקציית זטא לחצי המישור Re(s)>0
- פונקציות L של דיריכלה
- הקדמה לצפיפות דיריכלה
שיעור 4 ( 15.3.2010 )
- פונקציית זטא ה-m
- צפיפות דיריכלה
- סוף הוכחת משפט דירכלה ומסקנותיו
- חזרה על שדות סופיים
פרק ג' - שדה המספרים ה-p-אדיים
שיעור 5 ( 22.3.2010 )
- שדות סופיים
- משפט chevalley
- חוג השלמים ה-p-אדיים
שיעור 6 ( 12.4.2010 )
- אידאלים ב-Zp
- אלגוריתם למציאת הופכי ב-Zp
- שדה המנות של Zp
- מטריקה והתכנסות ב-Qp
שיעור 7 ( 26.4.2010 )
- טופולוגיה של Qp
- ייצוג "עשרוני" של מספרים p-אדיים
- גבול הפוך
שיעור 8 ( 3.5.2010 )
- הלמה של הנזל
- מבנה החבורה הכפלית *Qp
פרק ד' - הסמל של הילברט
שיעור 9 ( 10.5.2010 )
- חבורת הריבועים ב-*Qp
- הסמל של הילברט
שיעור 10 ( 17.5.2010 )
- נוסחה מפורשת לסמל הילברט
- תכונות גלובליות של סמל הילברט
- משפט הקירוב
- את שיעור ההשלמה שנערך ב-21.5 ניתן למצוא באתר הקורס.שיעור 11 ( 24.5.2010 )
- משפט Witt
- מיון תבניות ריבועיות מעל Fq.
שיעור 12 ( 31.5.2010 )
- מיון תבניות ריבועיות מעל Qp.
- משפט Hasse-Minkowski
שיעור 13 ( 7.6.2010 )
- המשך הוכחת משפט Hasse-Minkowski
- מיון תבניות ריבועיות מעל הרציונליים.
