סתיו 2008

• הגדרת טופולוגיה ומהו מרחב טופולוגי (כרך ב' עמ' 10-17)
• הגדרת מטריקה ומהו מרחב מטרי (כרך א' - עמ' 11-20) (כרך ב' עמ' 12-13)
• הגדרת כדור פתוח (כרך א' - עמ' 27)
• הגדרת בסיס לטופולוגיה (כרך ב' - עמ' 18-22)

• הגדרת תת-בסיס (כרך ב' - עמ' 22-24)
• הגדרת סביבה (כרך ב' - עמ' 24-26)
• הגדרת קבוצה פתוחה\סגורה (כרך א' - עמ' 34-40)
• הגדרת סגור של קבוצה (כרך ב' - עמ' 26-38)
• הגדרת נקודת הצטברות (כרך ב' - עמ' 26-38)
• הגדרת קבוצה נגזרת (כרך ב' - עמ' 26-38)
• הגדרת פנים\חוץ של קבוצה (כרך ב' - עמ' 26-38)
• הגדרת שפה של קבוצה (כרך ב' - עמ' 26-38)
• הגדרת קבוצה צפופה (כרך ב' - עמ' 38-40)

• סגור
• העתקות רציפות

• עוד דוגמאות בנושא מרחבי מנה, העתקות מנה וטופולגיות מנה
• תכונות טופולוגיות של מרחבים טופולוגיים
• הגדרת קשירות
• דוגמאות למרחבים קשירים (מרחב שרפינסקי - ראינו גם בחדו"א 3 למי שעוקב, יש ברשימות של גורו סודין)
• דוגמאות למרחבים לא קשירים (מרחבים דיסקרטיים למשל)
• מתן תנאי שקול לקשירות
• הגדרת קבוצה קמורה
• חיתוך לא ריק של 2 קבוצות קשירות לא חייב להיות קשיר!

• קשירות -מקומית - הגדרה ודוגמאות
• תנאים שקולים לקשירות מקומית
• הגדרת מסילה
• קשירות מסילתית
• קשיר מסילתית גורר קשור
• קשיר לא גורר קשיר מסילתית (חשוב!)
• קשיר מקומית לא גורר קשיר (גם ההפך לא נכון)
• קשיר מסילתית לא גורר קשיר מקומית (גם ההפך לא נכון).

• קריטריון לקשירות מסילתית
• תכונות הפרדה (נושא חדש): מרחבי T0, T1 ו-T2 (האוסדורף)
• דוגמאות
• חשוב - תכונות T0,T1,T2 אינוריאנטיות עבור הומיאומורפיזמים

• אקסיומות הפרדה

• משפט ההרחבה של טיצה (Tietze)
• מרחב טופולוגי רגולרי לחלוטין (מרחב טיכונוב)

(נורמלי => רגולרי לחלוטין => רגולרי. הגרירות ההפוכות לא נכונות, זו הסיבה שלפעמים מסמנים מרחב טופולוגי רגולרי לחלוטין כ- T3.5).

• הגדרת כיסוי (פתוח\סגור)
• רשתות - התכנסות רשת, גבול של רשת
• דוגמאות
• תת-רשת
• נק' גבול (גבול של תת-רשת, חשוב לשים לב שנק' גבול שונה מגבול - די מזכיר הבדל בין גבול של סדרה לגבול של תת-סדרה)

• מ"ט Linderlof
• משפט המטריזציה של אוריסון

• המשך - דוגמאות ותכונות של מ"ט קומפקטיים
• תת-קבוצה של מ"ט נקראת קומפקטית אם היא מרחב קומפקטי בטופולוגיה היחסית
• תת-קבוצה סגורה של מרחב קומפקטי היא קומפקטית
• תת-קבוצה קומפקטית של מרחב האוסדורף היא סגורה
• מרחב קומפקטי T2 הוא נורמלי
• משפט טיכונוב

• תת קבוצות של מרחב קומפקטי מקומית
• הפרדה בין קבוצה קומפקטית לפתוחה במרחב האוסדורף קומפקטי מקומית
• מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית הוא רגולרי לחלוטין
• תמונה רציפה ופתוחה של מרחב קומפקטי מקומית היא קומפקטית מקומית
• מתי מכפלה היא קומפקטית מקומית (תנאי הכרחי ומספיק)
• משפט בייר למרחבי האוסדורף קומפקטיים מקומית
• קומפקטיפיקציה על ידי נקודה (Alexandrov)

• קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

• מרחב אי קשיר קיצונית
• מרחב בעל מימד אפס
• מרחב אי קשיר לחלוטין