בהרצאה
-
בירוקרטיה
-
מרחבים מטריים
-
טופולוגיה ב Rn - (קבוצות פתוחות סגורות קומפקטיות)
-
אפיון כל הקבוצות הפתוחות על הישר הממשי
בתרגול
-
קבוצות ממידה אפס
-
קבוצת קנטור - קבוצה סגורה חסומה מעוצמה א' ומידה אפס (אפילו לפי מידת ז'ורדן/רימאן)
בהרצאה
-
תחילת פרק 1: מידת לבג
-
ההגדרה למלבנים וקבוצות אלמנטריות
-
תת סיגמא אדיטיביות
-
הגדרת המידה החיצונית, הגדרת קבוצה מדידה לבג
בתרגול
-
מידה חיצונית
-
מידה חיצונית של תת-גרף של פונקציה אינטגרבילית רימאן שווה לאינטגרל
בהרצאה
-
אדיטיביות וסיגמא אדיטיביות של מידת לבג עבור קבוצות מדידות
-
הגדרה: סיגמא אלגברה
-
הקבוצות המדידות הן סיגמא אלגברה
בתרגול
-
בכל קבוצה ממידה חיובית יש קטע שבו הצפיפות שלה גדולה כרצונינו
-
רציפות מידת לבג בהתכנסות מונוטונית והתכנסות נקודתית
בהרצאה
-
שבניית מידת לבג ב Rd עבור d>2
-
בניית קבוצה לא מדידה
-
מרחב מידה כללי ומשפט carathodory
-
מידות lebesgue stieltjes - אפיון כל מידות הבורל על הישר
בתרגול
-
אלגברה וסיגמא אלגברה
-
סיגמא אלגברה אינסופית לא יכולה להיות בת מניה
בהרצאה
-
פונקצית קנטור
-
תחילת פרק 2: פונקציות מדידות
-
תכונות סגירות של משפחת הפונקציות המדידות (סגירות לפעולות חשבון, לגבולות וכו')
-
'כמעט בכל מקום' (כב"מ), סגירות של הפונקציות המדידות תחת שוויון/גבול/נגזרת כב"מ
-
התכנסות במידה, התכנסות כב"מ גוררת התכנסות במידה.
-
הלמה של בורל קנטלי
-
אם סדרת פונקציות מתכנסת במידה לפונקצית גבול, יש תת סדרה שמתכנסת כב"מ.
בתרגול
-
כל קבוצה ממידה חיובית מכילה קבוצה לא מדידה
-
מידות lebesgue stieltjes.
בהרצאה
-
משפט Egorov - התכנסות כב"מ היא 'כמעט' התכנסות במידה שווה
-
תחילת פרק 3: אינטגרל לבג
-
פונקציות פשוטות, הגדרת האינטגרל על פונקציות פשוטות
-
תכונות של האינטגרל על פונקציות פשוטות (ליניאריות מונוטוניות וכו')
-
אינטגרל לבג של פונקציה מדידה כלשהיא
בתרגול
-
אינטגרל לבג - הגדרה ותכונות
בהרצאה
-
משפט Egorov - התכנסות כב"מ היא 'כמעט' התכנסות במידה שווה
-
תחילת פרק 3: אינטגרל לבג
-
פונקציות פשוטות, הגדרת האינטגרל על פונקציות פשוטות
-
תכונות של האינטגרל על פונקציות פשוטות (ליניאריות מונוטוניות וכו')
-
אינטגרל לבג של פונקציה מדידה כלשהיא
בתרגול
-
אינטגרל לבג - הגדרה ותכונות
בשבוע 8 התקיימה רק הרצאה אחת קצרה, הסיכום שלה מוכל בסיכום שבוע 7
בהרצאה
-
משפטי התכנסות אינטגרלים
-
משפט ההתכנסות המונוטונית (Levi)
-
משפט ההתכנסות הנשלטת (משפט המז'ורנטה)
-
תחילת פרק 4: מרחב הפונקציות האינטגרביליות (L1(m
-
נורמות שמוגדרות על ידי אינטגרלים
-
פונקציות פשוטות ואינטגרביליות, פונקציות מדרגות, ופונקציות רציפות עם תומך קומפקטי הן משפחות צפופות ב(L1(m
-
משפט Luzin - פונקציה מדידה היא 'כמעט' רציפה
בתרגול
-
משפטי התכנסות לצורך גזירה מתחת לסימן האינטגרל
-
תרגילים על משפטי התכנסות
בהרצאה
-
(L1(mue הוא מרחב נורמי שלם
-
משפט הזזה רציפה ב L1 - (נורמה אינטגרלית של הפרש בין פונקציה להזזה שלה מתכנסת לאפס)
-
משפט פוביני (Fubini) אינטגרלים חוזרים שווים לאינטגרל הרב מימדי
שיטת ההוכחה - נגדיר את אוסף כל הפונקציות עליהן המשפט נכון, נראה שפונקציות בסיסיות שייכול אליו ושהוא סגור להרבה דברים וככה נראה שהוא למעשה אוסף כל הפונקציות האינטגרביליות
-
משפט טונלי (פוביני לפונקציות חיוביות לא דורש אינטגרביליות)
-
שימוש למשפט פוביני - הוכחת תכונה פשוטה של טרנספורם פורייה
בתרגול
-
L1 כמרחב מידה
-
פוביני
בהרצאה
-
תחילת פרק 5: אינטגרל ונגזרת
-
משפט הצפיפות של לבג
-
למת כיסוי
-
הפונקציה המקסימלית של Hardy Littlewood
-
הפונקציה המקסימלית היא 'כמעט ב L1'
-
הוכחת משפט הצפיפות של לבג
-
משפט הגזירות של לבג ומסקנות נוספות של משפט הצפיפות
-
הגדרת השתנות של פונקציה (הכנה לקראת השתנות חסומה)
בתרגול
-
אינטגרציה פולארית
-
חישוב נפח כדור היחידה ה n מימדי
בהרצאה
-
השתנות חסומה BV
-
כל פונקציה BV היא גזירה כב"מ - בהסתמך על משפט הכיסוי של ויטלי
-
הוכחת משפט הכיסוי של ויטלי (Vitali)
בתרגול
-
משפט הצפיפות של לבג
-
כל פונקציה אינטגרבילית ניתן לקרב כב"מ עם רציפות
בהרצאה
-
פונקציה עולה חוסמת את האינטגרל של הנגזרת שלה
-
תחילת פרק 6: פונקציות רציפות בהחלט - AC) Absolutly Continuous)
-
פונקציה היא AC אפ ורק אם היא האינטגרל של הנגזרת שלה
-
כל פונקציה ב BV ניתן לפרק לסכום של פונקציה AC ופונקציה סינגולרית
בתרגול
-
פונקציות רציפות בהחלט
-
מידות סינגולריות ומידות רציפות בהחלט
בהרצאה
-
מיון מידות בורל על הישר - משפט הפירוק של לבג (למידה AC, מידה בדידה, ומידה סינגולרית ללא אטומים)
-
תחילת פרק 7 (לא למבחן) טרנספורם פורייה (Fourier)
-
הגדרה דוגמאות ותכונות
-
טרנספורם של פונקציה ב L1 הוא חסום, ורציף במ"ש
-
נוסחת ההיפוך
-
משפט Plancherel